Question

срочно.... заранее спасибо ^_​

Answer 1

Пошаговое объяснение

1. а)

$\displaystyle \int {(x^4-4x^3+2x)} \, dx =\frac{x^5}{5}-4* \frac{x^4}{4}+2*\frac{x^2}{2}=\frac{1}{5}x^5-x^4+x^2+C$

б)

$\displaystyle \int {\frac{x^2+1}{x^3} } \, dx =\int{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right) }\,dx=\int {\frac{dx}{x} }+ \int {x^{-3}} \, dx = ln\;|x|+\frac{x^{-2}}{-2}=\\\\=ln\;|x|-\frac{1}{2x^2}+C$

2. а)

$\displaystyle \int {(2x+3)^{17}} \, dx$

Замена переменной:

$\displaystyle 2x+3=t\\2dx=dt\\dx=\frac{1}{2}dt$

$\displaystyle \frac{1}{2} \int {t^{17}} \, dt =\frac{1}{2}*\frac{t^{18}}{18}=\frac{t^{18}}{36} +C$

Обратная замена:

$\displaystyle \int {(2x+3)^{17}} \, dx =\frac{(2x+3)^{18}}{36}+C$

б)

$\displaystyle \int {sin^2x\;cosx} \, dx$

Замена переменной:

$\displaystyle sinx = t\\cosx\;dx=dt$

$\displaystyle \int {t^2} \, dt=\frac{t^3}{3}+C$

Обратная замена:

$\displaystyle \int {sin^2x\;cosx} \, dx =\frac{1}{3}sin^3x+C$

3. а)

$\displaystyle \int {(5x-1)^{10}} \, dx$

Замена переменной:

$\displaystyle 5x-1=t\\5dx=dt\\dx=\frac{1}{5}dt$

$\displaystyle \frac{1}{5} \int {t^{10}} \, dt =\frac{1}{5}*\frac{t^{11}}{11}=\frac{t^{11}}{55}+C$

Обратная замена:

$\displaystyle \int {(5x-1)^{10}} \, dx =\frac{(5x-1)^{11}}{55}+C$

б)

$\displaystyle \int\ {\frac{5x\;dx}{5x^2-3} }$

Замена переменной:

$\displaystyle 5 x^2-3=t\\10x\;dx=dt\\ 5x\;dx=\frac{1}{2}dt$

$\displaystyle \frac{1}{2} \int\ {\frac{dt}{t} }=\frac{1}{2}ln\;|t|+C$

Обратная замена:

$\displaystyle \int {\frac{5x\;dx}{5x^2-3} } =\frac{1}{2}ln|5x^2-3|+C$