Question

Не понимаю вообще что делать , помогите…

Выяснить , является ли линейным пространством данное множество функций, определённых на R , с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число:
Множество периодических функций

Answer 1

Ответ:

Не является

Объяснение:

Если множество является линейным пространством, то сумма любых его элементов также должна принадлежать этому множеству.

Рассмотрим $u=cos(x), v=cos(\pi x)$.

Очевидно, обе функции периодические [$T_u=2\pi, T_v=2$], а значит принадлежат множеству.

Рассмотрим их сумму и допустим, что она также принадлежит множеству, т.е. периодична с некоторым периодом $T$:

$cos(x)+cos(\pi x)=cos(x+T)+cos(\pi (x+T))\;\;\forall x\in R$

Но тогда это равенство верно и для $x=0$:

$cos(0)+cos(0)=cos(T)+cos(\pi T)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 2=\underbrace{cos(T)}_{\leq 1}+\underbrace{cos(\pi T)}_{\leq 1}$

$\left\{\begin{array}{c}cosT=1\\cos\pi T=1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}T=2\pi k\\T=2 n\end{array}\right.$

Т.е. $\exists k,n\in Z: \pi=\dfrac{n}{k}$ , т.е. число $\pi$ рационально - что неверно.

Значит, $(1)$ не имеет решений, и сумма $u+v$ непериодична, т.е. не принадлежит рассматриваемому множеству.

Значит, рассматриваемое множество не является линейным пространством