Question

укажите наибольшее целое значение функции у=√21 sin x+2cos x-3​

Answer 1

Ответ:

y(max) = 2

Пошаговое объяснение:

Найдём максимум функции через производную:

y = √21*sin x + 2cos x - 3

y ' = √21*cos x - 2sin x = 0

2sin x = √21*cos x

tg x = √21/2

x0 = arctg(√21/2) ≈ 1,16 + π*k, k ∈ Z

Найдем sin(x0) и cos(x0) через tg(x0).

$tg(x0)=\frac{sin(x0)}{cos(x0)} =\frac{sin(x0)}{\sqrt{1-sin^2(x0)} } =\frac{\sqrt{21} }{2}$

$2sin(x0)=\sqrt{21}*\sqrt{1-sin^2(x0)}$

$4sin^2(x0)=21(1-sin^2(x0)) = 21-21sin^2(x0)$

$25sin^2(x0)=21$

$sin(x0)=\sqrt{\frac{21}{25} } =\frac{\sqrt{21} }{5}$

$cos(x0)=\sqrt{1-sin^2(x0)} =\sqrt{1-\frac{21}{25} } =\sqrt{\frac{4}{25} } =\frac{2}{5}$

Подставляем в функцию:

$y(x0)=\sqrt{21}*sin(x0) +2cos(x0)-3=\sqrt{21}*\frac{\sqrt{21} }{5}+2*\frac{2}{5} -3=$

$=\frac{21}{5} +\frac{4}{5} -3 =\frac{25}{5}-3=5-3=2$

Честно говоря, я думал, что максимум будет иррациональным, и придется подбирать наибольшее целое число, меньше максимума.

Не ожидал, что максимум сам по себе окажется целым числом.