Известно, что высота однородной атмосферы одной из планет h=100 км при средней плотности атмосферы rho=8 кг/м3. Средняя плотность вещества самой планеты в n=500 раз больше плотности атмосферы, а радиус планеты R=6000 км. Во сколько раз масса атмосферы меньше массы этой планеты?
Высота однородной атмосферы — это толщина условной атмосферы, имеющей всюду ту же температуру и плотность, что имеет реальная атмосфера у поверхности планеты, и такую же массу
Ответы
Ответ: Масса атмосферы меньше массы самой планеты (без атмосферы) в 9835,17
Масса атмосферы меньше массы планеты с атмосферой в 9836,17
Отношение масс дано для двух случаев. Но, вероятно, под массой планеты следует понимать массу самой планеты вместе с атмосферой.
Объяснение: Дано:
Высота однородной атмосферы h=100 км
Средняя плотность атмосферы rho=8 кг/м3
Средняя плотность вещества планеты больше плотности атмосферы в n=500 раз.
Радиус планеты R=6000 км
Во сколько раз масса атмосферы меньше массы планеты?
Найдем объемы планеты и атмосферы. Объем планеты вместе с атмосферой Vп+а = 4π(R+h)³/3. Объем планеты без атмосферы Vп = 4πR³/3. Разность этих объемов будет равна объему атмосферы, т.е. Vа = Vп+а – Vп = {4π(R+h)³/3} - 4πR³/3 = 4π{(R+h)³- R³}/3.
Теперь найдем массы атмосферы и планеты.
Масса атмосферы Ма = rho*Vа = 8*4π{(R+h)³- R³}/3.
Масса планеты без атмосферы Мп = n*rho*Vп = 500*8*4πR³/3.
Масса планеты с атмосферой Мп+а = Мп + Ма = n*rho*Vп + rho*Vа = {500*8*4πR³/3}+[8*4π{(R+h)³- R³]/3 = 8*4π*{(R+h)³ +499R³}/3
Разделим массу планеты без атмосферы на массу атмосферы Мп/Ма = {500*8*4πR³/3}/[8*4π {(R+h)³- (R)³}/3] = 500*R³/{(R+h)³- R³}. Подставив числовые значения, имеем: 500*R³/{(R+h)³- R³} = 500*6000³/{(6000+100)³- 6000³} = 9835,17 . Таким образом, масса атмосферы меньше массы самой планеты (без атмосферы) в 9835,17
Теперь разделим массу планеты с атмосферой на массу атмосферы. Имеем Мп+а/Ма = [8*4π*{(R+h)³ +499R³}/3]/[8*4π{(R+h)³- R³}/3] = {(R+h)³ +499R³}/(R+h)³- R³ = 9836,17. Таким образом, масса атмосферы меньше массы планеты с атмосферой в 9836,17