Question

а) Решите уравнение: 2cos^2(x−π/2)+sin(π+2x)=0
б) Укажите все корни уравнения, принадлежащие промежутку (0;3π/2)

Answer 1

Ответ:

а )$\pi k, \dfrac {\pi }{4} +\pi n, ~k,n\in\mathbb {Z};$     б)    $\dfrac{\pi }{4} , \pi ,\dfrac{5\pi }{4}$.

Объяснение:

а)

$2\cos^{2} (x-\dfrac{\pi }{2} )+2\sin (\pi +2x)=0;\\2\cos^{2} (\dfrac{\pi }{2} -x)+2\sin (\pi +2x)=0.$

Воспользуемся формулами приведения и получим:

$2sin^{2} x-sin2x=0$

Применим формулу синуса двойного угла

$\sin2x=2\cdot sinx\cdot cosx$

$2sin^{2} x-2\cdot sinx\cdot cosx=0|:2;\\sin^{2} x- sinx\cdot cosx=0;\\sinx( sinx-cosx)=0;\\1) sin x=0 \\x=\pi k, ~k\in\mathbb {Z}.\\2) sinx-cosx=0|:cosx\neq 0\\tgx-1=0;\\tgx=1;\\x= \dfrac{\pi }{4} +\pi n,~n\in\mathbb {Z}$

б) Выберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $(0; \dfrac{3\pi }{2} )$

1) при k=1, x= π.

2)при  n=0,  $x=\dfrac{\pi }{4}$

при  n=1,  $x=\dfrac{5\pi }{4}$ .

Answer 2

Ответ:

а) {π·k, k∈Z; π/4 + π·m, m∈Z}

б) x₁ = π; x₂ = π/4; x₃ = 5π/4

Объяснение:

а) Дано уравнение

2·cos²(x−π/2)+sin(π+2x)=0.

Сначала применим следующие формулы приведения:

cos(α−π/2) = sinα,

sin(α+π) = −sinα.

Тогда получим

2·sin²x-sin2x=0.

Применим формулу синуса двойного угла:

sin2x=2·sinx·cosx.

Далее решаем разложив на множители:

2·sin²x-2·sinx·cosx=0  |:2

sin²x-sinx·cosx=0

sinx(sinx-cosx)=0

sinx=0 ∨ sinx-cosx=0

1) sinx=0 ⇔ x = π·k, k∈Z;

2) Уравнение sinx-cosx=0 можно делить на cosx, так как для значений x при котором cosx=0 имеем sinx≠0 и поэтому не потеряем решение уравнения.

Тогда

sinx=cosx  | :cosx ⇔ tgx = 1 ⇔ x = π/4 + π·m, m∈Z.

б) Выберем корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 3π/2):

1) 0 < π·k < 3π/2    | :π

0 < k < 1,5

k = 1  ∈ Z ⇒ x₁ = π ∈ (0;3π/2).

2) 0 < π/4 + π·m < 3π/2    | :π

0 < 0,25 + m < 1,5

-0,25 < m < 1,25

m = 0; 1  ∈ Z ⇒ x₂ = π/4 ∈ (0;3π/2), x₃ = π/4 + π = 5π/4 ∈ (0;3π/2).