Question

решите уравнение
arctg^2x+Пarcctgx-2П^2=0

помогите пожалуйста

Answer 1

$\mathrm{arctg}\,^2x+\pi\,\mathrm{arcctg}\,x-2\pi ^2=0$

$\mathrm{arctg}\,^2x+\pi\left(\dfrac{\pi }{2}- \mathrm{arctg}\,x\right)-2\pi ^2=0$

$\mathrm{arctg}\,^2x+\dfrac{\pi^2 }{2}- \pi\,\mathrm{arctg}\,x-2\pi ^2=0$

$2\,\mathrm{arctg}\,^2x+\pi^2 - 2\pi\,\mathrm{arctg}\,x-4\pi ^2=0$

$2\,\mathrm{arctg}\,^2x - 2\pi\,\mathrm{arctg}\,x-3\pi ^2=0$

$D_1=(-\pi )^2-2\cdot(-3\pi ^2)=\pi ^2+6\pi ^2=7\pi ^2$

$\mathrm{arctg}\,x=\dfrac{\pi \pm\sqrt{7\pi ^2} }{2} =\dfrac{\pi \pm\pi \sqrt{7} }{2} =\dfrac{\pi(1 \pm \sqrt{7}) }{2}$

Отметим, что функция арктангенса дает значения из интервала $\left(-\dfrac{\pi }{2} ;\ \dfrac{\pi }{2} \right)$.

Но ни одно из двух значений $\dfrac{\pi(1 \pm \sqrt{7}) }{2}$ не принадлежит этому интервалу в силу того, что $|1\pm\sqrt{7} |>1$. Значит, уравнение $\mathrm{arctg}\,x=\dfrac{\pi(1 \pm \sqrt{7}) }{2}$ не имеет решений. Тогда и исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: нет решений