Question

Докажите,что если a>b>c, то $a^{2} (b-c)+b^{2} (c-a)+c^{2} (a-b)\ \textgreater \ 0$

Answer 1

Ответ:

Решение 1

Обозначим a = x³, b = y³, c = z³. Тогда xyz = 1. Поскольку x² – xy + y² ≥ xy, имеем x³ + y³ ≥ (x + y)xy, откуда

= ≤ = .

Складывая это неравенство с двумя аналогичными, получим получим требуемое неравенство.

Решение 2

После приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок (с учётом того, что abc = 1) неравенство принимает вид

a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc² ≥ 2(a + b + c). (*