Question

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.
а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.

Answer 1

Пусть C - начало координат.

Ось X -  СA

Ось Y - CB

Ось Z - CC1

Вектора

СA ( 4;0;0)

CA1 ( 4;0;4)  - ACC1A1 квадрат

AB1 ( -4; 7; 4 )

a)   СA1 * AB1 = 4*(-4) + 0*7 + 4*4 = 0 - перпендикулярны , скалярное произведение 0

б)  | CA1 ; AB1 | = | CA * CA1xAB1 | / | CA1xAB1 | = | 4*7*4 | / √ ( (7*4)^2 + (16+16)^2 + (7*4)^2 ) = 112 / √2592 = 28 / (9√2) = 14 *√2 / 9