Question

даю 20 баллов!
Напиши уравнение прямой ax+by+c=0, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10).

(В первое окошко пиши положительное число. Числа в ответе сокращать не нужно!)
...⋅x+...⋅y+...=0.

Answer 1

Ответ:

14у + 12х -139 = 0

Пошаговое объяснение:

Сначала прямая L₁   через точки  A(1;3) и B(7;10).

Каноническое уравнение прямой:

$\displaystyle \frac{x-x_A}{x_B-x_A} =\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\\\\\\\frac{x-1}{7-1} =\frac{y-3}{10-3} ; \qquad \boldsymbol{\frac{x-1}{6} =\frac{y-3}{7}}$

Мы получили каноническое уравнение прямой L₁, проходящей через точки A(1;3) и B(7;10).

Но нам понадобится уравнение прямой с угловым  коэффициентом, потому что дальше мы будем писать уравнение прямой L₂, перпендикулярной   к L₁.

Итак, уравнение прямой   L₁ с угловым коэффициентом

$\displaystyle 7(x-1) = 6(y-3) \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol {y=\frac{7}{6}x +\frac{11}{6} }$

Теперь, если мы через середину отрезка АВ проведем прямую L₂ , перпендикулярную к прямой  L₁, то все точки этой прямой L₂ будут находиться на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10).

Итак, середина отрезка АВ

$\displaystyle x_C=\frac{x_A+x_B}{2} =\frac{1+7}{2} =4\\\\\\y_C = \frac{y_A+y_B}{2} =\frac{3+10}{2} =6.5$   - середина отрезка АВ - это точка С(4; 6,5)

Теперь прямая, проходящая через точку С(4; 6,5) перпендикулярно прямой L₁     $\displaystyle y=\frac{7}{6}x +\frac{11}{6}$  .

Если прямые у₁ = k₁x+b₁   и  y₂ = k₂x+b₂  перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны формулой     $\displaystyle k_2=-\frac{1}{k_1}$.

Следовательно мы можем написать уравнение прямой L₂, проходящей через точку С(4; 6,5) перпендикулярно прямой L₁.

Угловой коэффициент искомой прямой L₂ равен

$\displaystyle k_2=-\frac{1}{k_1}= -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{7/6} =-\frac{6}{7}$

И чтобы эта прямая прошла через точку С(4; 6,5), подставим координаты точки в уравнение прямой и найдем b.

$\displaystyle 6.5 = -\frac{6}{7} *4+b;\\\\b = 6\frac{1}{2} +\frac{24}{7} =\frac{13}{2} +\frac{24}{7} = \frac{139}{14}$

Вот, наконец, мы получили уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10). Но получили мы его в виде уравнения с угловым коэффициентом.

$\displaystyle y =-\frac{6}{7} x+\frac{139}{14}$

Теперь представим это уравнение прямой в общем виде

$\displaystyle y =-\frac{6}{7} x+\frac{139}{14};\\\\\\y+\frac{6}{7} x-\frac{139}{14}=0;\\\\14y+12x-139=0$

Проверим на координатной плоскости (см рисунок)

ответ

уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек A(1;3) и B(7;10) имеет вид 14у + 12х -139 = 0