Question

математика пожалуйста помогите прошу ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y=\frac{x^3}{3-x}$

1. ОДЗ: х≠3

2. Четность, нечетность.

$\displaystyle y(-x)=\frac{(-x)^3}{3-(-x)}=-\frac{x^3}{3+x} \\\\y(-x)\neq y(x)\neq -y(x)$

⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями:

x=0; y=0

4. Асимптоты.

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3}{3-x}= \infty}$

⇒ х=3 - вертикальная асимптота.

Наклонная: y=kx+b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{(3-x)x} =\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{(3-x)} =\infty$

⇒ наклонных асимптот нет.

5. Возрастание, убывание.

Найдем производную, приравняем к 0 и найдем корни. Отметим их на оси и определим знаки производной на промежутках. Если производная положительна, функция - возрастает, если отрицательна - убывает.

Не забываем про точки, в которых производная не существует.

$\displaystyle y'=\frac{3x^2(3-x)-x^3*(-1)}{(3-x)^2} =\frac{9x^2-3x^3+x^3}{(3-x)^2} =\\\\=\frac{x^2(9-2x)}{(3-x)^2}$

у'=0

$\displaystyle x=0;\;\;\;\;\;x=4,5;\;\;\;\;\;x\neq 3$

$+++++[0]+++++(3)+++++[4,5]-----$

Производная меняет знак в точке х=4,5 с "+" на "-".

⇒ будет max.

у max = y(4,5)=-60,75

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка. Приравняем к 0, найдем корни. Если вторая производная положительна, то график вогнутый, если отрицательна - выпуклый.

$\displaystyle y''=\frac{(18x-6x^2)*(3-x)^2-(9x^2-2x^3)*2(3-x)(-1)}{(3-x)^4} =\\\\=\frac{(18x-6x^2)(3-x)+2(9x^2-2x^3)}{(3-x)^3} =\\\\=\frac{54x-18x^2-18x^2+6x^3+18x^2-4x^3}{(3-x)^3} =\frac{2x^3-18x^2+54x}{(3-x)^3}=\\\\=\frac{2x(x^2-9x+27)}{(3-x)^3}$

y''=0

x=0;     x≠3

$\displaystyle -----[0]+++++(3)-----$

Второй множитель в числителе корней не имеет.

Строим график.