Question

а)Может ли наибольший общий знаменатель двух натуральных чисел a и b(a>b) быть больше их разности?НОД(a;b)>a-b?Обоснуйте свой ответ примерами.
б)Может ли наименьше общее кратное двух натуральных чисел быть меньше их суммы?НОК (a иb)

Answer 1

а)пусть НОД=х,а к и с это коэффициенты равные произведению оставшихся множителей (а=кх,b=сх,считаем что a>b)

если х>кх-сх,то

х>х(к-с) делим на х

1>к-с

а так как множитель х одинаков для a и b и a>b получаем что к>с и являются целыми числами

крайний случай если к=с+1,получается что а например 2 b=1 поэтому НОД=1,поэтому НОД никогда не может быть больше разности а и б

б)будем использовать те же буквы для множителей

пусть у=НОК а к и с множители(к>с)

у<у/к+у/с

1<1/к+1/с

либо к и с равны 1 и неравенство верно,либо же хотя бы один из них 1,но эти случаи я думаю не учитываются в вычислениях

в остальных случая 1 всегда будет больше суммы двух чисел,на которые разделили единицу