Question

Найти решение рекуррентного соотношения, удовлетворяющее данным начальным условием:

$w_{n+2} + 3w_{n+1} -4w_{n} =5^{n} (n+1), w_{0} = 1, w_{1} =-1$

Answer 1

Ответ:

$w_n=5^n\left(\dfrac{1}{36} n-\dfrac{29}{1296}\right)+\dfrac{166}{405}\cdot (-4)^n+\dfrac{49}{80}$

Пошаговое объяснение:

Характеристическое уравнение:

$\lambda^2+3\lambda-4=0\Leftrightarrow \lambda=-4, \lambda =1$

Тогда общее решение однородного соотношения имеет вид

$w_n^{oo}=C_1(-4)^n+C_2$

Частное решение ищем в виде $w_n^{r_H}=5^n(A n+B)$:

$5^{n+2}(A( n+2)+B)+3\cdot 5^{n+1}(A( n+1)+B)-4\cdot5^n(A n+B)=5^n(n+1)$

$25(An+2A+B)+3\cdot 5(An +A+B)-4\cdot(An+B)=n+1$

$36An+(65A+36B)=n+1\\ \left\{\begin{array}{c}36A=1\\ 65A+36B=1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}A=\dfrac{1}{36}\\ B=-\dfrac{29}{1296}\end{array}\right.$

Общее решение имеет вид

$w_n=5^n\left(\dfrac{1}{36} n-\dfrac{29}{1296}\right)+C_1(-4)^n+C_2$

Определяем значения констант:

$\left\{\begin{array}{c}\left(-\dfrac{29}{1296}\right)+C_1+C_2=1\\ 5\left(\dfrac{1}{36} -\dfrac{29}{1296}\right)-4C_1+C_2=-1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}\left(-\dfrac{29}{1296}\right)+C_1+C_2=1\\ \dfrac{5}{36} -\dfrac{29\cdot 4}{1296}-5C_1=-2\end{array}\right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}C_1=\dfrac{166}{405}\\ C_2=\dfrac{49}{80}\end{array}\right.$