Question

Решите уравнение:
$log_2\frac{x}{\sqrt{4x-3} } =\sqrt{4x-3} -x$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\log_2\dfrac{x}{\sqrt{4x-3}}=\sqrt{4x-3}-x$

При $x\le0$ уравнение, очевидно, не имеет корней из-за логарифма.

При $x>0$ равносильной является запись:

$\log_2x+x=\log_2\sqrt{4x-3}+\sqrt{4x-3}$

Введем функцию $f(t)=\log_2t+t$. Заметим, что она возрастающая, как сумма двух возрастающих функций. Тогда получили запись вида$f(x)=f(\sqrt{4x-3}),\;\Leftrightarrow\;x=\sqrt{4x-3},\;\Leftrightarrow\;x^2-4x+3=0$ (последний переход сделан с учетом выше записанного условия $x>0$).

Задача свелась к решению более простого уравнения:

$x^2-4x+3=0,\;\Leftrightarrow\;(x-1)(x-3)=0,\;\Leftrightarrow\;\left[\begin{array}{c}x=1\\x=3\end{array}\right;$

Так как полученные корни больше нуля, то оба являются ответом.

Уравнение решено!