Даны координаты вершин треугольника ABC. Найдите:
а) уравнение стороны AB
б) уравнение высоты CH
в) уравнение медианы AM
Г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH
Д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB
Е) внутренний угол B, треугольника АBC
Ж) расстояние от точки C, до прямой AB
Координаты: А) -2; -6 B) -3; 5 C) 4; 0
Ответы
Даны координаты вершин треугольника ABC: А(-2; -6), B(-3; 5), C(4; 0).
Найти:
а) уравнение стороны AB.
Находим вектор АВ = (-3-(-2); (5-(-6)) = (-1; 11).
Уравнение АВ: (х + 2)/(-1) = (у + 6)/11 каноническое.
11х + 22 = -у - 6,
11х + у + 28 = 0 это общее уравнение АВ.
б) уравнение высоты CH.
У перпендикуляра коэффициенты А и В меняются на В и -А.
Уравнение СН: х - 11у + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты точки С.
4 - 11*0 + С = 0, получаем С = -4.
Уравнение СН: х - 11у - 4 = 0.
в) уравнение медианы AM.
Определяем координаты точки М как середины стороны ВС.
М = (B(-3; 5) + C(4; 0))/2 = (0,5; 2,5).
Вектор АМ = (0,5-(-2); 2,5-(-6)) = (2,5; 8,5).
Уравнение АМ: (х + 2)/2,5 = (у + 6)/8,5.
Можно привести к целым коэффициентам:
Уравнение АМ: (х + 2)/5 = (у + 6)/17 или в общем виде
17х - 5у + 4 = 0.
Г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH.
Решаем систему из двух уравнений этих прямых.
{17х - 5у + 4 = 0 17х - 5у + 4 = 0
{ х - 11у - 4 = 0|x(-17) = -17x + 187y + 68 = 0
182y + 72 = 0, y = -72/182 = -36/91 ≈ -0.3956.
x = 11y + 4 = 11*(-36/91) + 4 = (-396/91) + 4 = -32/91 ≈ -0,35165.
Точка N((-32/91); (-36/91)).
Д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB.
У этой прямой направляющий вектор такой же, как и упрямой АВ.
Только подставляем координаты точки С.
Уравнение СС1: (х - 4)/(-1) = у /11.
Е) внутренний угол B, треугольника АBC.
cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) = 124/190,0315763 = 0,652523135
B = arccos 0,65252 = 0,8599 радиан или 49,2679 градуса.
Ж) расстояние от точки C до прямой AB. Это высота СС2.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C|
√(A² + B²)
Подставим в формулу данные:
d = |11·4 + 1·0 + 28|
√(11² + 1²)
= |44 + 0 + 28|
√121 + 1
= 72
√122
= 36√122 /61 ≈ 6,5185737.