Question

Доказать что существует или не существует такое число n если известно что

$2^n +1 \ \vdots n^2 \ \ ; \ \ n\in \mathbb N$

Answer 1

Ответ:

математической индукции

База индукции при n=1 утверждение верно, так как

2*1=2^1*(2*1-1) (обе части равны2 )

--(при n=2

(2+1)*(2*2)=2^2*1*(2*2-1) (обе части равны 12)

)

Гипотеза индукции. Пусть при n=k утверждение верно, т.е.

справедливо равенство

(k+1)(k+2)*...*(2k)=2^k*1*3*5*...(2k-1)

Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение верно при n=k+1, т.е., что

справедливо равенство

(k+1+1)(k+1+2)*...*(2(k+1))=2^{k+1}*1*3*5*...*(2(k+1)-1)

-----

2^{k+1}*1*3*5*.....*(2(k+1)-1)=2*2^k*1*3*5*...*(2k-1)*(2k+1)=

используем гипотезу(предположение) индукции, получим

=2(2k+1)*(k+1)(k+2)*...*2k=(k+2)*(k+3)*...*(2k)*(2k+1)*(2*(k+1))=

(k+1+1)(k+1+2)*..*(2k)*(2k+1)*(2(k+1)), что и хотели доказать.

По принципу математической индукции утверждение верно. Доказано