Question

На рисунке показан график кривой ,уравнение которой y=(x-1)корень(5-х)

Фигура R ограничена кривой осью абсцисс и промежутком 1<или равно х <или равно 5

Найдите интеграл y=(x-1)корень(5-х)Dx

Применяя метод интегрирования по частям

Вычислите точное значение площади R

Закрашенная часть вращается вокруг оси ОХ на 360° образуя тело вращения .

Найдите точное значение объёма тела вращения

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Интеграл можно найти

$\int\limits^5_1 {(x-1)\sqrt{5-x} } \, dx =|u=x-1; dv=\sqrt{5-x} dx; du=dx;v=-\frac{2}{3}(5-x)^{3/2}|=$

$=-\frac{2}{3}(x-1)(5-x)^{3/2}|_1^5+\frac{2}{3} \int\limits^5_1 {(5-x)^{3/2}} \, dx =0-0+\frac{2}{3}*\frac{2}{5}(-(5-x)^{5/2})|_1^5=$

$=-\frac{4}{15}(0-4^{5/2})=\frac{4}{15}*2^5=\frac{4*32}{15}=\frac{128}{15}$

Собственно, это и есть площадь фигуры R:

S = 128/15

Объём тела вращения можно найти по такой формуле:

$V=\pi *\int\limits^5_1 {y^2} \, dx =\pi *\int\limits^5_1 {(x-1)^2(5-x)} \, dx =$

$=\pi *\int\limits^5_1 {(x^2-2x+1)(5-x)} \, dx=\pi *\int\limits^5_1 {(5x^2-10x+5-x^3+2x^2-x)} \, dx =$

$=\pi *\int\limits^5_1 {(-x^3+7x^2-11x+5)} \, dx =\pi (-\frac{x^4}{4} +\frac{7x^3}{3} -\frac{11x^2}{2} +5x)|_1^5=$

$=\pi (-\frac{5^4}{4} +\frac{7*5^3}{3} -\frac{11*5^2}{2} +5*5+\frac{1}{4} -\frac{7}{3}+\frac{11}{2} -5*1)=$

$=\pi (\frac{-625+1}{4} +\frac{875-7}{3} +\frac{-275+11}{2} +20)=\pi (-156+289\frac{1}{3}-132+20 )=\frac{64}{3}\pi$