Question

Решите иррациональное неравенство
40балл

Answer 1

$\sqrt{x^{2} -5x+4} \leq 2x-2$

1)    ОДЗ:   $\left \{ {{x^{2} -5x+4\geq 0} \atop {2x-2\geq 0}} \right. =>\left \{ {{(x-1)(x-4)\geq 0} \atop {2x\geq 2}} \right. =>\left \{ {{x\leq 1;x\geq 4} \atop {x\geq 1}} \right. =>\left \{ {{x\geq 4} \atop {x=1}} \right.$

2)    Возведём в квадрат обе части данного неравенства:

$(\sqrt{x^{2} -5x+4})^2 \leq (2x-2)^2$

${x^{2} -5x+4 \leq 4x^{2} -8x+4$

${x^{2} -5x+4 - 4x^{2} +8x-4\leq 0$

$-3{x^{2} +3x\leq 0$

$-3x({x -1)\leq 0$

$3x({x -1)\geq 0$

        +                        -                           +

///////////////////___________/////////////////////////////

                    $0$                       $1$

    $x\leq 0$                                              $x\geq 1$  

3) С учётом ОДЗ   получаем окончательный ответ:      

          $\left \{ {{x\geq 4 } \atop {x=1}} \right.$    

Ответ:  {1}∪ [4;  +∞)