Question

основание трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см.найдите длину описаной окружности

Answer 1

Трапеция АВСД является равнобедренной, т.к. окружность описать можно только вокруг равнобедренной трапеции. Значит, АВ=СД=13 см.

Проведем высоты ВН и СК. Тогда НК=ВС=4 см, АН=КД=(14-4):2=5 см.

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный. ВН=√(АВ²-АН²)=√(169-25)=√144=12 см.

Рассмотрим ΔАВД и найдем его площадь:

S=12 * АД * ВН= 12 * 14 * 12=84 см².

Из ΔВДН найдем ВД по теореме Пифагора ВД=√(ВН²+ДН²)=√(144+81)=√225=15 см

Найдем радиус окружности, описанной вокруг ΔАВД (этим же радиусом описана окружность вокруг трапеции АВСД)

R =(АВ*ВД*АД)/(4*S)=13*15*144*84=8,125 см

Найдем длину окружности по формуле С=2πR=2π*8,125=16,25π см

Ответ: 16,25π см.

Answer 2

$mathrm{angle CBD=angle BDA}$ как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD

$mathrm{0.5cup CD=0.5cup AB~Rightarrow~~ cup CD=cup AB~~Rightarrow~~ AB=CD}$

$AE=dfrac{AD-BC}{2}=5$ см

Из прямоугольного треугольника ABE найдем BE по т. Пифагора

$mathrm{BE=sqrt{AB^2-AE^2}=sqrt{13^2-5^2}=12}$ см

Из треугольника ABD найдем диагональ BD по т. Косинусов

$mathrm{BD^2=AB^2+AD^2-2ABcdot ADcdot cosalpha} \ mathrm{BD=sqrt{13^2+14^2-2cdot13cdot14cdotfrac{5}{13}}=15~~ _{CM}}$

Вписанный угол измеряется половинной дуги, на которую он опирается.

$mathrm{angle BOD=0.5cup BD,~ angle BAD=0.5cup BD,~ angle BOD=2angle BAD}$

Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда радиус, проведенной в точку касания, перпендикулярен ей, то есть

$OB=OD$, следовательно треугольник BOD равнобедренный

BF - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника BOD

$mathrm{angle BOF=0.5angle BOD=0.5cdot2angle BAD=angle BAD}$

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е.

$mathrm{sin angle BOF=frac{BF}{OB}} ~~Rightarrow~~ mathrm{OB=frac{65}{8}=8.125}$ см

Длина окружности: $C=2pi R=2pi cdot8.125=16.25pi$ см