Question

Асия собрала цветы: 9 ромашек и 12 незабудок. Сколькими способами можно составить букет из 8 цыетов, если: а) в букете 6 ромашек и 4 незабудки; б) в букете как минимум должны быть 3 незабудки (НАПИШИТЕ ЧТОБЫ БЫЛО ПОНЯТНО)​

Answer 1

Ответ:

а) 5544 способами

б) 183645 способами

Объяснение:

В условии "а) в букете 6 ромашек и 4 незабудки", то есть  6+4=10 цветов, но в букете должно быть 8 цветов. Поэтому изменим условие а) а:

"а) в букете 6 ромашек и 2 незабудки".

Решение. Количество способов выбрать набора называется числом сочетаний из n элементов по k. Применим формулу сочетания комбинаторики:

$\tt C^k_n=\dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.$

а) Так как для ромашек n=9 и k=6, то выбрать 6 ромашки можно

$\tt C^6_9=\dfrac{9!}{6! \cdot (9-6)!}=\dfrac{9!}{6! \cdot 3!}=\dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9}{3!}=\dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3}=7 \cdot 4 \cdot 3=84$

способами, а для незабудок n=12 и k=2, то выбрать 2 незабудки можно

$\tt C^2_{12}=\dfrac{12!}{2! \cdot (12-2)!}=\dfrac{12!}{2! \cdot 10!}=\dfrac{11 \cdot 12}{2!}=\dfrac{11 \cdot 12}{1 \cdot 2}=11 \cdot 6=66$

способами. По правилу произведения, составить букет из 8 цветов, в котором 6 ромашек и 2 незабудки можно

84·66 = 5544 способами.

б) В букете как минимум должны быть 3 незабудки означает, что в букете 3 незабудки+5 ромашки или 4 незабудки+4 ромашки или 5 незабудки+3 ромашки или 6 незабудки+2 ромашки или 7 незабудки+1 ромашки или 8 незабудки+0 ромашки.

Каждый случай рассмотрим отдельно:

1) 3 незабудки+5 ромашки можно выбрать

$\tt C^3_{12} \cdot C^5_9=\dfrac{12!}{3! \cdot (12-3)!} \cdot \dfrac{9!}{5! \cdot (9-5)!}=\dfrac{12!}{3! \cdot 9!} \cdot \dfrac{9!}{5! \cdot 4!}=\\\\=\dfrac{10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=\dfrac{10 \cdot 11 \cdot 2}{1} \cdot \dfrac{1 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 9}{1}=110 \cdot 126=13860$

способами.

2) 4 незабудки+4 ромашки можно выбрать

$\tt C^4_{12} \cdot C^4_9=\dfrac{12!}{4! \cdot (12-4)!} \cdot \dfrac{9!}{4! \cdot (9-4)!}=\dfrac{12!}{4! \cdot 8!} \cdot \dfrac{9!}{4! \cdot 5!}=\\\\=\dfrac{9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=\dfrac{9 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 1}{1} \cdot \dfrac{1 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 9}{1} = 495 \cdot 126=62370$

способами.

3) 5 незабудки+3 ромашки можно выбрать

$\tt C^5_{12} \cdot C^3_9=\dfrac{12!}{5! \cdot (12-5)!} \cdot \dfrac{9!}{3! \cdot (9-3)!}=\dfrac{12!}{5! \cdot 7!} \cdot \dfrac{9!}{3! \cdot 6!}=\\\\=\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \cdot \dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3}=\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 1}{1} \cdot \dfrac{7 \cdot 4 \cdot 3}{1}=792 \cdot 84=66528$

способами.

4) 6 незабудки+2 ромашки можно выбрать

$\tt C^6_{12} \cdot C^2_9=\dfrac{12!}{6! \cdot (12-6)!} \cdot \dfrac{9!}{2! \cdot (9-2)!}=\dfrac{12!}{6! \cdot 6!} \cdot \dfrac{9!}{2! \cdot 7!}=\\\\=\dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} \cdot \dfrac{8 \cdot 9}{1 \cdot 2}=\dfrac{7 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 12}{1} \cdot \dfrac{4 \cdot 9}{1}=924 \cdot 36=33264$

способами.

5) 7 незабудки+1 ромашка можно выбрать

$\tt C^7_{12} \cdot C^1_9=\dfrac{12!}{7! \cdot (12-7)!} \cdot \dfrac{9!}{1! \cdot (9-1)!}=\dfrac{12!}{7! \cdot 5!} \cdot \dfrac{9!}{8!}=\\\\=\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \cdot \dfrac{9}{1}=\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 1}{1} \cdot 9=792 \cdot 9=7128$

способами.

6) Наконец, только 8 незабудки можно выбрать

$\tt C^8_{12}=\dfrac{12!}{8! \cdot (12-8)!}=\dfrac{12!}{8! \cdot 4!}=\dfrac{9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=\dfrac{9 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 1}{1}=45 \cdot 11=495$

способами.

По правилу сложения, составить букет из 8 цветов, в котором как минимум должны быть 3 незабудки можно

13860+62370+66528+33264+7128+495=183645.