Question

Пи интеграл от ^ 1 до -1 (1-x^2)dx

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \pi \displaystyle \int\limits^1_{-1} {(1 - x^{2} )} \, dx = \dfrac{4}{3}\pi}$

Объяснение:

Вычислим сначала неопределенный интеграл:

$\pi \displaystyle \int {(1 - x^{2} )} \, dx = \pi \left( \displaystyle \int {1} \, dx - \displaystyle \int {x^{2}\,dx } \right) = \pi \left( x + C_{1} - \dfrac{x^{3}}{3} \right + C_{2} \bigg) =$

$= \pi \left( x - \dfrac{x^{3}}{3} \right + C \bigg)$. Так как константу можно вынести за интеграл, то

$\displaystyle \int {(1 - x^{2} )} \, dx =x - \dfrac{x^{3}}{3} \right + C$.

$\displaystyle \int\limits^1_{-1} {(1 - x^{2} )} \, dx = x - \dfrac{x^{3}}{3} \bigg|_{-1}^{1} = \left(1 - \dfrac{1^{3}}{3} \right) - \left(-1 - \dfrac{(-1)^{3}}{3} \right) =$

$= \left(1 - \dfrac{1}{3} \right) - \left(-1 + \dfrac{1}{3} \right) =1 - \dfrac{1}{3} + 1 - \dfrac{1}{3} =2 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{6 - 2}{3} = \dfrac{4}{3}$

$\pi \displaystyle \int\limits^1_{-1} {(1 - x^{2} )} \, dx = \pi \cdot\dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3}\pi$.