Question

Помогите, пожалуйста!
Исследовать функцию z = (x, y) на экстремум

Answer 1

Ответ: функция имеет максимум zmax=12 в точке M(4;4).

Объяснение:

1) Находим первые частные производные:

z'x=y/(2*√x)-1, z'y=√x-2*y+6

Приравнивая их к 0, получаем систему уравнений:

y/(2*√x)-1=0

√x-2*y+6=0

Решая её, находим x=4 и y=4 - координаты единственной критической (стационарной) точки M.

2) Находим вторые частные производные:

z"xx=-y/(4*√x³), z"xy=1/(2*√x), z"yy=-2

и вычисляем их значения в точке M:

A=z"xx(M)=-1/8, B=z"xy(M)=1/4, C=z"yy(M)=-2

3) Составляем выражение A*C-B² и находим его значение. Оно равно 3/16>0, поэтому функция z действительно имеет экстремум в точке М. И так как при этом A<0, то это - максимум. Его значение zmax=4*√4-4²-4+6*4=12.