Question

Напишите несколько лёгких решений и способов вычисления этого выражения:

$\sqrt{96 \times 97 \times 98 \times 99 + 1}$

без использования калькулятора. ​

Answer 1

Ответ $\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\la\la\la\la\ddddddddddddddddddddddddddddddddcleverdddddd\ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff\pppppppppppppppppppppppppppppppppppp\dddddd \displaystyle \large \boldsymbol{: 9505}$

Объяснение:

Сделаем замену :

$\displaystyle x-1=96 \ ; \ x=97 \ ; \ x+1=98 \ ; \ x+2=99 \\\\ \sqrt{(x-1)x(x+1)(x+2)+1} = \sqrt{(x^2-x)(x^2+3x+2)+1} = \\\\ \sqrt{x^4+2x^3-x^2-2x+1} = \sqrt{(x^4+x^3-x^2)+(x^3-2x+1)} =\\\\\sqrt{x^2(x^2+x-1)+(x^3-x-(x-1))} = \\\\ \sqrt{x^2(x^2+x-1)+x\underline{(x-1)}(x+1)-\underline{(x-1)}} = \\\\\\ \sqrt{x^2\underline{(x^2+x-1})+ (x-1) \underline{(x^2+x-1)}} =\\\\\\\sqrt{(x^2+x-1)(x^2+x-1)} = \sqrt{(x^2+x-1)^2} =x^2+x-1 =\\\\97^2+97-1=(100-3)^2+97-1=9409+97-1=\boxed{9505}$

Для решения таких задач стоит запомнить формулу :

$\boldsymbol {\sf (x^2+x-1)^2=x^4+2x^3-x^2-2x+1}$

Answer 2

$\sqrt{96\cdot97\cdot98\cdot99+1} =\sqrt{(100-4)(100-3)(100-2)(100-1)+1} =\\\\=\sqrt{[(100-4)(100-1)][(100-3)(100-2)]+1} =\\\\=\sqrt{(100^{2}-5\cdot100+4)(100^{2} -5\cdot100+6)+1 } \\\\100^{2} -5\cdot100+4=x \ \Rightarrow \ 100^{2} -5\cdot100+6=x+2\\\\\sqrt{x(x+2)+1} =\sqrt{x^{2} +2x+1} =\sqrt{(x+1)^{2} } =x+1\\\\x+1=100^{2} -500+4+1=10000-495=\boxed{9505}$