Question

Сколько действительных решений имеет уравнение
$20x^{7}+16x^{2}+2016=0$

Answer 1

Разделим уравнение на 4:

$5x^7+4x^2+504=0;$

исследуем функцию $y=5x^7+4x^2+504; \ y'=35x^6+8x=35x(x^5+8/35);\ y'=0$  при

$x=0$   и  $x=-\sqrt[5]{8/35}.$ Справа от нуля производная положительна (то есть там функция возрастает), между корнями производная отрицательна (то есть там функция убывает), слева от отрицательного корня производная положительна (функция возрастает). Поскольку y(0)=504>0, на промежутке $[-\sqrt[5]{8/35};+\infty)$ функция в ноль не обращается. На промежутке $(-\infty;-\sqrt[5]{8/35}]$ функция монотонна, поэтому на нем функция не может обратиться в ноль больше одного раза. Но один раз она в ноль гарантированно обратится, поскольку y(-2)=-120<0; y(-1)=503>0.

Ответ: одно решение.