Question

Найти область сходимости степенного ряда.

Answer 1

Ответ:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{\sqrt{n}\cdot (x-2)^{n}}{n^2+1}\\\\\\\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{\sqrt{n+1}\cdot |x-2|^{n+1}}{n^2+2n+2}\cdot \dfrac{n^2+1}{\sqrt{n}\cdot |x-2|^{n}}=|x-2|<1\\\\\\-1<x-2<1\ \ ,\ \ 1<x<3\\\\a)\ \ x=3:\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{\sqrt{n}}{n^2+1}\sim \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\ -\ sxoditsya\ ,\ garmonicheskij\ ryad$

$b)\ \ x=1:\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(-1)^{n}\cdot \sqrt{n}}{n^2+1}\ -\ \ absolutno\ sxoditsya\\\\\\Otvet:\ \ x\in [\ 1\ ;\ 3\ ]\ .$