найдите количество целых решений уравнений √3x+√2y=√180
Ответы
Ответ:
(0;90),(60;0) - 2 целых решения.
Пошаговое объяснение:
√3x+√2y=√180
ОДЗ: x,y>=0
Домножим обе части уравнения на √5
√15x+√10y=√900 = 30
√15x+√10y = 30
Предположим, что одно из чисел 15x и 10y является полным квадратом, а второе нет, но тогда √15x+√10y равно сумме рационального и иррационального числа, то есть является иррациональным, однако число 30 целое, то есть такое невозможно.
Предположим теперь, что оба числа 15x и 10y не являются полными квадратами.
Покажем, что √15x+√10y не может быть рациональным числом.
Предположим, что √15x+√10y - рационально, но тогда из-за рациональности числа 15x-10y получаем, что:
√15x-√10y = (15x-10y)/(√15x+√10y) - рациональное число.
Но тогда сумма чисел:
(√15x-√10y) + (√15x+√10y) = 2√15x - рациональна.
Однако 15x не является полным квадратом, то есть 2√15x -иррациональное число.
Мы пришли к противоречию, такое невозможно.
Поскольку число 30 целое, то из доказанного выше следует, что
15x и 10y не могут одновременно не быть полными квадратами.
Как видим, остается вариант, что оба числа 15x и 10y одновременно являются полыми квадратами.
То есть можно записать, что:
15x= a^2
10y = b^2
a,b - неотрицательные целые числа. (в результате взятия радикала получаем положительное число)
Тогда уравнение принимает вид:
a+b = 30
Но поскольку 15 = 5*3 и 10 = 5*2, а числа 5 и 2 простые, то верно что
a = 15n
b = 10k
n,k - неотрицательные целые числа.
15n+10k = 30
3n + 2k = 6
Откуда n<=2, при этом n = 1 не подходит, ибо 3 не делится на 2, то есть имеем 2 варианта:
1. n = 0; k = 3
a=0
15x=0
x1 = 0
b = 30
10y = 30^2 = 900
y1 = 90
2. n = 2; k = 0
a = 30
15x = 30^2 = 900
x2 = 900/15 = 60
b=0
10y = 0
y2 = 0