Question

Решите уравнение:
$xlog_{x+1}5*log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5} } } (x+1)=\frac{x-4}{x}$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$x\log_{x+1}5\times\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}}\left(x+1\right)=\dfrac{x-4}{x}\\x\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}}5\times\log_{x+1}\left(x+1\right)=\dfrac{x-4}{x}\\-3x\times\log_{x+1}\left(x+1\right)=\dfrac{x-4}{x}\\-3x=\dfrac{x-4}{x}\\3x^2+x-4=0\\3x^2-3x+4x-4=0\\3x(x-1)+4(x-1)=0\\(x-1)(3x+4)=0$

$\left[\begin{array}{ccc}x=1\\x=-\dfrac{4}{3}\end{array}\right;$

Очевидно, что $x=-\dfrac{4}{3}$ посторонний, так как $x+1>0,\;=>\;x>-1$.

Проверим $x=1$:

$\log_25\times\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}}2=\dfrac{2-4}{2}\\\log_25\times\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}}2=\dfrac{1-4}{1}$

$-3=-3$, верно.

Значит $x=1$ - единственный корень уравнения.

Уравнение решено!