Question

Помогите, пожалуйста!
Найти общее решение дифференциального уравнения.

Answer 1

Ответ:

$y=C_1 cos(5x)+C_2 sin(5x)+x\cdot (2 sin(5x)+cos(5x))+ e^{5x}$

Пошаговое объяснение:

Характеристическое уравнение $\lambda^2+25=0\Rightarrow \lambda=\pm 5i$

Значит, $y_{oo}=C_1 cos(5x)+C_2 sin(5x)$.

Характеристическое число слагаемого $50e^{5x}$ равно $5$ и не является корнем характеристического уравнения.

Характеристические числа слагаемого $-10sin(5x)+20cos(5x)$ - комплексно-сопряженная пара $\pm 5i$, причем это корни характеристического уравнения кратности 1.

Значит, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде $y_{r_H}=x(A sin(5x)+B cos(5x))+C e^{5x}$:

$2\cdot 5(A cos(5x)-B sin(5x))-25x(Asin(5x)+Bcos(5x))+\\ +25x(A sin(5x)+B cos(5x))+25C e^{5x}+25C e^{5x}=-10sin(5x)+20cos(5x)+50e^{5x}\\10(A cos(5x)-B sin(5x))+50C e^{5x}=-10sin(5x)+20cos(5x)+50e^{5x}\\ \left\{\begin{array}{c}10A=20\\-10B=-10\\50C=50\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}A=2\\B=1\\C=1\end{array}\right.$

Значит, общее решение ДУ имеет вид

$y=C_1 cos(5x)+C_2 sin(5x)+x\cdot (2 sin(5x)+cos(5x))+ e^{5x}$