Question

Довести нерівність (xy+9)(x+y)≥12xy якщо x ≥ 0, y ≥ 0.

Answer 1

Среднее арифметическое двух положительных чисел a и b всегда больше или равно их среднему геометрическому, причём равенство достигается при a = b

(a + b)/2 ≥ √(ab)

xy + 9 ≥ 2√(xy*9)

x + y ≥ 2√(xy)

(xy + 9)(x + y) ≥ 2√(xy*9)*2√(xy) = 12√(xy)² = 12xy

доказано