Question

Пожалуйста, помогите с доказательством задач (на уровне 7 класса). Совершенно не знаю как подступиться к ним...

1)Задача Ибн Сины.

Если число, будучи разделено на 9, даёт в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, делённый на 9, даёт в остатке 1. Докажите.

2)Задача Пифагора. 

Докажите, что всякое нечётное натуральное число, кроме 1, есть разность двух квадратов.

Answer 1

Если число при делении на 9 дает остаток 1, то оно имеет вид 9k+1, где k - некоторое целое число Квадрат этого числа , а значит при делении на 9 даст остаток 1 Если число при делении на 9 дает остаток 8, то оно имеет вид 9l+1, где l - некоторое целое число Квадрат этого числа , а значит при делении на 9 даст остаток 1
2)

Пусть n любое натуральное число. Тогда предыдущее будет (n-1).Теперь найдем разность квадратов этих чисел:А формула (2n-1) и есть нечетное число. [умножение на два делает любое число четным, минус один делает четное число нечечтным].Вот и доказали, что разность квадратов любых последовательных натуральных чисел равно нечетному числу.

Answer 2

Пусть n любое натуральное число. Тогда предыдущее будет (n-1).

Теперь найдем разность квадратов этих чисел:

n^{2}-(n-1)^{2}=n^{2}-(n^{2}-2n+1)=n^{2}-n^{2}+2n-1=2n-1

А формула (2n-1) и есть нечетное число. [умножение на два делает любое число четным, минус один делает четное число нечечтным].

Вот и доказали, что разность квадратов любых последовательных натуральных чисел равно нечетному числу.

Answer 3

Большое спасибо!