Question

Исследовать непрерывность функции f (x). Найти точки разрыва функции и определить их характер. Выполнить геометрическую иллюстрацию

Answer 1

Ответ:

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2-1\ ,\ \ x<0\ ,\\cosx\ ,\ \ 0\leq x<\dfrac{\pi }{2}\ ,\\x-\dfrac{\pi}{2}\ ,\ \ \dfrac{\pi}{2}\leq x\leq 4\ ,\\\dfrac{1}{x-4}\ ,\ \ x>4\ .\end{array}\right$  

$1)\ \ f(0-0)=\lim\limits_{x \to 0-0}\, (x^2-1)=-1\\\\f(0+0)=\lim\limits_{x \to 0+0}\, cosx=1\\\\f(0)=cos0=1\\\\f(0-0)\ne f(0+0)$

х=0 - точка разрыва 1 рода (скачок = 2) .

$2)\ \ f\Big(\dfrac{\pi}{2}-0\Big)=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\, cosx=0\\\\f\Big(\dfrac{\pi}{2}+0\Big)=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}+0}\, \Big(x-\dfrac{\pi}{2}\Big)=0\\\\f\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}=0\\\\f\Big(\dfrac{\pi}{2}-0\Big)=f\Big(\dfrac{\pi}{2}+0\Big)=f\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)$

При х=П/2 функция непрерывна .

$3)\ \ f(4-0)=\lim\limits_{x \to 4-0}\, \Big(x-\dfrac{\pi}{2}\Big)=4-\dfrac{\pi}{2}\\\\f(4+0)=\lim\limits_{x \to 4+0}\, \dfrac{1}{x-4}=\infty \\\\f(4)=4-\dfrac{\pi}{2}$

При х=4 функция терпит разрыв 2 рода .