Question

СРОЧНО!!!ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА
Докажи, что четырёхугольник является прямоугольником, найди его площадь, если (12;2), (16;4), (14;8) и (10;6).

Answer 1

Ответ:

20

Объяснение:

Найдем вектора составляющие заданный четырехугольник, вычитая соответствующие координаты начальной точки из конечной:

AB(4;2), BC(-2;4), CD(-4;-2), DA(2;-4)

Т.к. существует k=-1, такое, что AB=k*CD, то вектора AB и CD коллинеарны. Также существует k=-1, такое, что BC=k*DA, а следовательно и вектора BC и DA коллинеарны.

Т.е. наше четырехугольник является параллелограммом, т.к. его противоположные стороны попарно параллельны.

Найдем угол между векторами AB и BC через скалярное произведение векторов:

$cos(ABC)=\frac{(AB,BC)}{|AB|*|BC|}=\frac{4*(-2)+2*4}{|AB|*|BC|}=0$

Следовательно угол между векторами равен 90° и параллелограмм является прямоугольником.

Площадь прямоугольника найдем через произведение длин составляющих его векторов:

$S_{ABCD}=|AB|*|BC|=\sqrt{4^{2}+2^{2}}*\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}}=20$