Question

1. Даны векторы {3; 1;-2} и{1; 4;-3}.
Найдите координаты векторов
и .

2. Даны векторы и , причем
Найти .

3. Найдите угол между прямыми АВ и СD, если А(3;-1;3), В(3;-2;2), С(2;2;3), D(1;2;2).

4. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-2;0;1), В(-1;2;3), С(8;-4;9). Определите вид треугольника АВС и найдите длину вектора , если ВМ – медиана треугольника АВС.

Answer 1

Даны ответы на пункт 3 и  частично 4 (где понятно задание).

3) Найдем вектор по координатам точек:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {3 - 3; -2 - (-1); 2 - 3} = {0; -1; -1},

CD = {Dx - Cx; Dy - Cy; Dz - Cz} = {1 - 2; 2 - 2; 2 - 3} = {-1; 0; -1}.

Найдем скалярное произведение векторов:

AB · CD = ABx · CDx + ABy · CDy + ABz · CDz = 0 · (-1) + (-1) · 0 + (-1) · (-1) =  

= 0 + 0 + 1 = 1.

Найдем длины векторов:

|AB| = √ABx2 + ABy2 + ABz2 = √02 + (-1)2 + (-1)2 = √0 + 1 + 1 = √2,

|CD| = √CDx2 + CDy2 + CDz2 = √(-1)2 + 02 + (-1)2 = √1 + 0 + 1 = √2.

Найдем угол между векторами:

cos α = AB · CD  

         |AB||CD|

cos α =     1       =   0,5.  

   √2 · √2  

α = 60°.

4)  

Точка А Точка В Точка С

X Y Z X Y Z X Y Z

-2 0 1 -1 2 3 8 -4 9

Вектор АВ (с) Вектор ВС (а) Вектор АС (b)

X Y Z X Y Z X Y Z

1 2 2 9 -6 6 10 -4 8

Модуль 9 3 Модуль 153 12,3693 Модуль 180 13,4164

cos A = (b^2+c^2-a^2)/(2bc) 36 80,4984 0,44721  

A = arccos 0,44721 = 1,10715 радиан 63,4349 градуса

cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) -18 74,2159 -0,2425  

B = arccos -0,2425 = 1,81577 радиан 104,036 градуса

cos C = (b^2+c^2-a^2)/(2bc) 324 331,904 0,97619  

C = arccos 0,97619 = 0,21867 радиан 12,5288 градуса

       сумма  180

Треугольник АВС тупоугольный.