СРОЧНО СРОЧНО СРОЧНО
Ответы
1. Г
Свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны. => AC = BD
Свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. => AM = MC = 1/2 AC, BM = MD = 1/2 BD.
=> AM = 1/2 BD, BD = 2AM = 2×8см = 16см.
2. Г
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O под углом 60° =>
∠BOA = 60°, AO = BO.
Рассмотрим треугольник ABO, он равнобедренный (AO = BO), значит углы при основании равны => ∠ABO = ∠BAO. Сумма углов в треугольнике равна 180° => ∠ABO + ∠BAO + ∠BOA = 180°, ∠ABO + ∠BAO = 180° – 60° = 120°, ∠ABO = ∠BAO = 120° ÷ 2 = 60° => все углы треугольника ABO равны, треугольник ABO — равносторонний => AO = BO = AB.
AB = 12см. AB = AO = OC = 1/2 AC, AC = 2AB = 2×12см = 24см.
Почему именно AB — меньшая сторона, а не BC? Потому что AB лежит против угла в 60°, а BC лежит против угла в 120° (180° – 60°), а чем больше угол, тем больше сторона.
3. Б
Свойство ромба: диагонали ромба являются биссектрисами его углов. => ∠BAC = ∠CAD = 25°, ∠BAD = 25° + 25° = 50°.
Ромб — это параллелограм, у которого все стороны равны. Соответственно свойства параллелограмма подходят и к ромбу. Свойство: соседние углы в сумме равны 180° => ∠ABC + ∠BAD = 180°, ∠ABC = 180° – ∠BAD = 180° – 50° = 130°.
4. Б
Прямоугольник ABCD. Биссектриса AK делит сторону BC пополам, BK = KC = 1/2 BC = 1/2×12см = 6см.
Рассмотрим треугольник ABK. ∠ABK = 90°, ∠BAK = 90°÷2 = 45°, ∠BKA = 180° – 90° – 45° = 45° => треугольник ABK — прямоугольный и равнобедренный => AB = BK = 6см.
Периметр = 2(AB+BC) = 2(6+12) = 2×18 = 36 (см).
5. А
Дан ромб ABCD. AC и BD — диагонали ромба. По свойству ромба, диагонали пересекаются под прямым углом и являются биссектриссами углов. Точка O — точка пересечения диагоналей.
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный. ∠AOB = 90°. ∠BAO и ∠ABO соотносятся как 2 : 3. Пусть ∠BAO = 2x, ∠ABO = 3x. ∠BAO + ∠ABO = 180° – 90° = 90°.
2x + 3x = 5x = 90°,
x = 90°÷5 = 18°.
∠BAO = 2x = 2×18° = 36°,
∠ABO = 3x = 3×18° = 54°.
∠ABO = ∠OBC = 1/2 ∠ABC, ∠ABC = 2 ∠ABO = 2×54° = 108°.
6. Б
Дан ромб ABCD. Противоположные углы равны, по свойству. Пусть ∠A = ∠C — тупые углы, ∠B = ∠D — острые углы. Проведена высота AK так, что BK = KC = 1/2 BC. Стороны ромба равны, AB = BC = CD = AD => BK = 1/2 AB.
Рассмотрим треугольник ABK, он прямоугольный, ∠AKB = 90°. По признаку прямоугольного треугольника: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30° => если BK = 1/2 AB, то ∠BAK = 30°. Получается, ∠ABK = 180° – 90° – 30° = 60°.
∠ABK = ∠ADC = 60°, ∠BAD = ∠BCD = (360° – 60°×2) ÷ 2 = (360° – 120°) ÷ 2 = 240° ÷ 2 = 120°.
7. Г
Биссектриса AL делит BC так, что BL : LC = 3 : 2.
Рассмотрим треугольник ABL. ∠BAL = 90°÷2 = 45°, ∠ABL = 90°, ∠BLA = 180° – 90° – 45° = 45°. => Треугольник ABL — равнобедренный => AB = BL.
BL = AB = 3x, x = AB÷3,
LC = 2x = 2 × AB ÷ 3 = 2/3 AB.
BC = BL + LC = AB + 2/3 AB = 5/3 AB.
Периметр прямоугольника = 2(AB+BC) = 2(AB+5/3 AB) = 2(8/3 AB) = 16/3 AB = 64см,
AB = 64 ÷ 16/3 = 64 × 3/16 = 12 (см),
BC = 5/3 AB = 5/3 × 12см = 20см.