Question

Нам в универе дали теорему: Полином $f(x)$ с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень $x_j$ тогда и только тогда, когда комплексно сопряженное к этому корню число $\overline{x_j}$ также является корнем полинома $f(x)$.

У меня не получается найти доказательство. Скиньте ссылочку на док-во, если можете. Ну либо прям сюда напишите доказательство. Заранее спасибо.

Answer 1

Сперва докажем вспомогательные свойства комплексно сопряженных чисел.

1) $\overline{yz}=\overline{y}\cdot \overline{z}$

$y=a+bi, z=c+di\Rightarrow =\overline{y}\cdot \overline{z}=(a-bi)\cdot (c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i=\\ =\overline{(a+bi)(c+di)}=\overline{y\cdot z}$

Но тогда $\forall n\in N: (\overline{z})^n=\overline{z^n}$.

2) $\overline{y+z}=\overline{y}+\overline{z}$:

$y=a+bi, z=c+di\Rightarrow \overline{y+z}= \overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i=\\ =(a-bi)+(c-di)=\overline{y}+\overline{z}$

Рассмотрим полином с вещественными коэффициентами $f(x)=a_nx^n+...+a_0$.

Учитывая доказанные выше свойства, получим, что

$\overline{f(x)}=\overline{a_nx^n}+...+\overline{a_0}=a_n\overline{x^n}+...+a_0=a_n(\overline{x})^n+...+a_0=f(\overline{x})$.

Пусть теперь $x_j\in C$ - корень рассматриваемого многочлена, т.е. $f(x_j)=0$. Значит, $\overline{f(x_j)}=\overline{0}=0$.

Но тогда, по доказанному ранее, $f(\overline{x_j})=0$ - а это означает, что число, сопряженное к комплексному корню многочлена с действительными коэффициентами, также является корнем данного многочлена.

С учетом того, что $\overline{\overline{z}}=z$, получаем необходимое утверждение.

Ч.т.д.