Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(16;3), B(20;7), C(14;13) и D(10;9).

Answer 1

Даны вершины  A(16;3), B(20;7), C(14;13) и D(10;9).

Для определения углов используем формулу cos α = (a*b)/(|a|*|b|.

AB = (4; 4), AD = (-6; 6),

cos (AB_AD) = (4*(-6)+4*6)/(4√2*6√2) = 0.

BA = (-4; -4), BC = (-6; 6),

cos (BA_BC) = (-4*(-6)+(-4)*6)/(4√2*6√2) = 0.

CB = (6; -6), CD = (-4; -4),

cos (CB_CD) = (6*(-4)+(-6)*(-4))/(6√2*4√2) = 0.

Так как косинусы трёх углов равны нулю, то они равны 90 градусов.

Четвёртый тоже будет равен 90 градусов из свойства четырёхугольника, у которого сумма углов равна 360 градусов.

Доказано: четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Площадь определим по найденным значениям длин сторон прямоугольника.

S = (4√2)*(6√2) = 48 кв. ед.