Question

визначити висоту і час падіння тіла якщо за останню секунду тіло пройшло третину шляху

Answer 1

Ответ:

Время падения тела: $t=t_{1}=5,45$ сек;

Высота, с которой падало тело: $h=\frac{g*t^2}{2}=\frac{9,81*5,45^2}{2}=145,7$ метра.

Объяснение:

Так как наше тело падает с определенной высоты, то это пример свободного падения тела.

Свободное падение, это частный случай равномерно ускоренного движения без начальной скорости, при котором ускорение движения равно ускорению свободного падения на Земле: $g=9,81$ м/с², или чаще всего его округляют до $10$ м/с².

Так как мы знаем ускорение свободного падения, то мы можем записать формулу для пути, пройденного телом за время падения. В нашем случае весь путь будет равняться высоте и будет равен:

$h=\frac{g*t^2}{2}$ (1)

Высоту, которую пролетело тело за последнюю секунду можно определить задав условие, что время $T=t-1$:

$h_{1}=\frac{g*T^2}{2}=\frac{g*(t-1)^2}{2}$  (2)

Нам неизвестно общее время падения тела, но нам дано условие, что за последнюю секунду тело прошло треть всей высоты $h$. То есть, получим:

$h-h_{1}=\frac{1}{3}*h$

Или упростив, получим:

$h-\frac{1}{3}*h=h_{1}\\\frac{3-1}{3}*h=h_{1}\\\frac{2}{3}*h=h_{1}$

Подставив формулы (1) и (2) в полученное выше выражение, имеем:

$\frac{2}{3}*\frac{g*t^2}{2}=\frac{g*(t-1)^2}{2}$

Упрощая, получаем:

$\frac{2*g*t^2}{3*2}=\frac{g*(t-1)^2}{2}\\\frac{2*g*t^2}{6}=\frac{g*(t-1)^2}{2}\\\frac{g*t^2}{3}=\frac{g*(t-1)^2}{2}$

Приведем к общему знаменателю, чтобы избавиться от него. Общим знаменателем будет число 6:

$\frac{2*g*t^2}{6}=\frac{3*g*(t-1)^2}{6}\\2*g*t^2=3*g*(t-1)^2$

$(t-1)^2$ раскрывается как квадрат разности по формуле: $(a-b)^2=a^2-2*a*b+b^2$

То есть получим:

$2*g*t^2=3*g*(t^2-2*t+1)\\2*t^2=3*t^2-6*t+3$

Ускорение свободного падения $g$ по обе стороны от знака "=" имеем сократить. Далее решаем как обычное квадратное уравнение:

$3*t^2-2*t^2-6*t+3=0\\t^2-6*t+3=0\\ D=b^2-4*a*c=36-4*1*3=36-12=24$

Рассчитываем корни:

$t_{1}=\frac{-b+\sqrt{D} }{2*a}=\frac{6+\sqrt{24} }{2}=\frac{2*(3+\sqrt{6}) }{2}=3+\sqrt{6}=5,45$ (сек)

$t_{2}=\frac{-b-\sqrt{D} }{2*a}=\frac{6-\sqrt{24} }{2}=\frac{2*(3-\sqrt{6}) }{2}=3-\sqrt{6}=0,55$ (сек)

Второй корень не подходит исходя из условия, что тело падало больше одной секунды. Поэтому время полета нашего тела равно:

$t=t_{1}=5,45$ сек.

Теперь, подставляя данное значение в формулу (1), найдем высоту, с которой падало тело:

$h=\frac{g*t^2}{2}=\frac{9,81*5,45^2}{2}=145,7$ метра.