Question

Задано последовательность концентрических кругов радиусов r1 меньше r2 меньше ...(т.д.) меньше rn меньше...(т.д.) Есть ли их объединения замкнутым множеством? Ответ обосновать

25 баллов!

Answer 1

Если уж на то пошло, то, судя по вашему комментарию, речь идет об окружностях, использование слова "кругов" здесь неуместно, это иное множество.

Итак, рассмотрим круг (обозн. $B(a, R)$ ) в $\mathbb {R}^2$. У него есть внешность, внутренность, граница (окружность). Нам интересно, является ли объединение всех границ кругов (обозн $S$) с, допустим, центрами $(0, 0)$ и радиусами $1/n$ замкнутым множеством.

Дополнение к $S$ представляется в виде:

( Внешность $B(0,1)$  )  $\cup$  (  $\begin{document} \bigcup_{n=1}^{\infty} \end{document}$ ( Внутренность $B(0,1/n)$ $\cap$ Внешность $B(0,1/(n+1))$ )

Пересечение внутренности и внешности открыто, как пересечение двух открытых множеств. Объединение бесконечного числа открытых множеств открыто, что уж говорить про конечные.

Таким образом дополнение к $S$ открыто, а значит само $S$ замкнуто.