Question

Решите уравнение
$\bf11^{log_6(2x-1)}-6^{log_{11}(2x+4)}=5$
Подбором легко угадывается корень х=3.5
Как доказать, что других корней нет?

Answer 1

Замена 2x-7=t; $11^{\log_6(t+6)}-6^{\log_{11}(t+11)}=5;\ 11^{\log_6(t+6)}-11=6^{\log_{11}(t+11)}-6;$

обозначим a=11>b=6>1;    $a^{\log_b(t+b)}-a}=b^{\log_a(t+a)}-b;$

$(t+b)^{\log_ba}-a=(t+a)^{\log_ab}-b;\ \left(\left((t+b)^{\log_ba}-a\right)+b\right)^{\log_ba}-a=t.$

Рассмотрим функцию $f(t)=(t+b)^{\log_ba}-a;\ t>-b.$ Это - возрастающая функция, а уравнение может быть записано в виде

                                             f(f(t))=t.

Как неоднократно было доказано в последнее время при решении других задач, такое уравнение при возрастающей функции равносильно уравнению

                                                f(t)=t;

$(t+b)^{\log_ba}-a=t;\ (t+b)^{\log_b_a}=t+a; \ \log_ba\log_a(t+b)=\log_a(t+a);$

$\log_b(t+b)=\log_a(t+a);\ y=\log_b(t+b)-\log_a(t+a);$

$y'=\dfrac{1}{(t+b)\ln b}-\dfrac{1}{(t+a)\ln a}=\dfrac{(t+a)\ln a-(t+b)\ln b}{(t+a)(t+b)\ln a\ln b}>0,$

поскольку t+a>0; t+b>0; ln a>0; \ln b>0: (t+a)>(t+b); ln a>ln b.

Поэтому функция y(x) возрастающая и может обращаться в ноль максимум в одной точке; t=0 угадываем (впрочем, о нем мы знали с самого начала решения); x=3,5.

Ответ: 3,5