Question

решите методом интервалов , если это возможно, пожалуйста
$|x + 1| + |x - 1| = 6$
​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Способ 1:

$|x+1|+|x-1|=6$

Заметим, что если $x$ - корень уравнения, то $-x$ тоже корень уравнения.

Тогда решение выполним для $x\ge0$, записав:

$x+1+|x-1|=6\\|x-1|=5-x$

$\left[\begin{array}{c}x-1=5-x\\x-1=x-5\end{array}\right,\;\Leftrightarrow\;x=3$

Итого ответом будет $x=\pm3$.

Способ 2:

$|x+1|+|x-1|=6$

Заметим, что если $x$ - корень уравнения, то $-x$ тоже корень уравнения.

Тогда решение выполним для $x>0$ (очевидно, что $0$ не корень).

Умножим обе части уравнения на $|x+1|-|x-1|\ne0$.

Получим:

$4x=6(|x+1|-|x-1|)\\|x+1|-|x-1|=\dfrac{2x}{3}$

Пришли к системе уравнений:

$\left\{\begin{array}{c}|x+1|+|x-1|=6\\|x+1|-|x-1|=\dfrac{2x}{3}\end{array}\right;$

Сложим две строки:

$|x+1|=3+\dfrac{x}{3}$

Мы решаем для случая $x>0$, поэтому убираем модуль:

$x+1=3+\dfrac{x}{3}\\3x+3=9+x\\x=3$

Тогда исходное уравнение имеет ровно два корня $x=-3$ и $x=3$.

Уравнение решено!

Комментарий:

Способ 1 можно было закончить немного иначе:

При x<1 |x-1| параллелен 5-x, то есть там решений нет.

При x>1 |x-1| возрастает, а 5-x убывает, то есть x=3 единственный корень.

Итого пришли к тому же ответу x=±3.