Найдите все тройки простых чисел pp, qq и rr такие, что число p4+q4+r4−3 также является простым.
Ответы
Ответ:
2,3,5
Пошаговое объяснение:
Пусть s = p
4 + q
4 + r
4 − 3 — простое число. s > 2
4 − 3 = 13, поэтому s
нечетно и s 6= 3. Если p = q = r, то s делится на 3 и является составным.
Поскольку s нечетно, ровно одно из чисел p, q и r равно 2. Пусть для
определенности r = 2. Предположим, что ни одно из чисел p и q не делится на 3. Поскольку квадраты чисел, не делящихся на 3, дают остаток 1
при делении на 3, s кратно 3 и, значит, составное. Поэтому одно из (простых) чисел p,q делится на 3, т. е. равно 3, для определенности можно
считать, что q = 3. Таким образом, осталось найти все простые числа p,
для которых число s = p
4 + 34 + 24 − 3 = p
4 + 94 является простым. Если
p не делится на 5, то p
4 дает остаток 1 при делении на 5, и значит, число
s = p
4 + 94 составное, поскольку делится на 5. Поэтому p = 5. Осталось
заметить, что число s = 54 + 94 = 719 является простым.