Question

У натурального числа N посчитали произведение всех его натуральных делителей (включая его самого). Оказалось, что максимальная степень двойки, на которую делится полученное число – 2^134. Найдите наименьшее N с таким свойством. В ответе укажите четыре последние цифры числа N.

Answer 1

Ответ: N=65536 последние четыре цифры 5536

Объяснение:

Раз число N должно быть наименьшим то при разложении его на множители должны быть только двойки

Тогда произведение всех делителей числа можно представить в таком виде :

$\large \boldsymbol {} 2^{1} \cdot 2^{2}\cdot 2^{3} \ldots 2^{n}\geq 2^{134}$  

А число N= $\large \boldsymbol {} 2^n$

Тогда выйдет что :

$\large \boldsymbol {} 2^{1+2+3 +\ldots+n} \geq 2^{134} \\\\1+2+3 + \ldots+n\geq 134$  

Выходит арифметическая прогрессия :

$\large \boldsymbol {} \displaystyle \frac{1+n}{2} \cdot n \geq 134 \\\\(1+n)n\geq 268$

где n -наименьшее натуральное число при котором выполняется неравенство

пусть :

$\large \boldsymbol {}pri \ n=14 \ \ ; \ \ (n+1)n=14\cdot 15=210<268 \ \varnothing \\\\pri \ n=15\ ; \ \ (n+1)n=16\cdot 15=240<268\varnothing \\\\pri \ n =16 \ \ ; \ \ \boxed{(n+1)n=17\cdot 16=272>268 \ \rm \ verno }$

Из чего исходя $\rm N=\large \boldsymbol {} 2^n =2^{16}=6\underline{5536}$