Question

Найти сумму абсцисс точек в которых касательные к кривой $y=\frac{x+1}{x+2}$ параллельны прямой у = х + 5. Можно пожалуйста с объяснением, что и как решается.

Answer 1

$y=\dfrac{x+1}{x+2}$

Составим уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$:

$y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$

$y(x_0)=\dfrac{x_0+1}{x_0+2}$

$y'=\dfrac{(x+1)'(x+2)-(x+1)(x+2)'}{(x+2)^2}=\dfrac{x+2-x-1}{(x+2)^2}=\dfrac{1}{(x+2)^2}$

$y'(x_0)=\dfrac{1}{(x_0+2)^2}$

Уравнение касательной:

$y_k=\dfrac{x_0+1}{x_0+2}+\dfrac{1}{(x_0+2)^2}(x-x_0)$

Преобразуем уравнение:

$y_k=\dfrac{x_0+1}{x_0+2}+\dfrac{1}{(x_0+2)^2}x-\dfrac{x_0}{(x_0+2)^2}$

$y_k=\dfrac{1}{(x_0+2)^2}x+\dfrac{(x_0+1)(x_0+2)-x_0}{(x_0+2)^2}$

$y_k=\dfrac{1}{(x_0+2)^2}x+\dfrac{x_0^2+2x_0+2}{(x_0+2)^2}$

Так как касательная параллельная прямой $y= x + 5$, то угловые коэффициенты этих прямых равны:

$\dfrac{1}{(x_0+2)^2}=1$

$(x_0+2)^2=1$

$\left[\begin{array}{l} x_0+2=1\\ x_0+2=-1\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x_0=-1\\ x_0=-3\end{array}$

Проверим, какие касательные получаются в каждом из двух случаев.

При $x_0=-1$:

$y_k=\dfrac{1}{1}x+\dfrac{(-1)^2+2\cdot(-1)+2}{1}=x+1-2+2=x+1$

Касательная параллельная заданной по условию прямой $y=x+5$.

При $x_0=-3$:

$y_k=\dfrac{1}{1}x+\dfrac{(-3)^2+2\cdot(-3)+2}{1}=x+9-6+2=x+5$

Заметим, что в этом случае касательная совпадает с заданной по условию прямой $y=x+5$. Значит, $x_0\neq -3$.

Таким образом, условию удовлетворяет единственное значение $x_0=-1$.

Ответ: -1