Question

В лотерейном билете 8 клеточек. В каждую можно поставить любое число от 1 до 8. Клеточка считается заполненной успешно, если ваше число совпало с числом, стоящем на этом месте в выигрышном номере (он единственный и фиксированный, вы его не знаете). Сколько есть способов заполнить лотерейный билет так, чтобы ровно 5 клеточек из 8 были заполнены успешно?

Answer 1

Сначала нужно выбрать 5 клеточек из 8, которые будут заполнены успешно. Число способов это сделать равно $C_8^5$.

В каждую из оставшихся 3 клеточек мы можем записать любое число, кроме выигрышного, то есть для каждой клеточки имеется 7 вариантов выбора. Число способов заполнить оставшиеся клеточки равно $7^3$.

Таким образом, общее число способов заполнить билет так, чтобы ровно 5 клеточек из 8 были заполнены успешно:

$C_8^5\cdot7^3=\dfrac{8!}{5!\cdot(8-5)!} \cdot343=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{1\cdot2\cdot3} \cdot343=56 \cdot343=19208$

Ответ: 19208 способов