Question

Написати рівняння дотичної та нормалі в точці x0 = n.
$y = \frac{2 - x}{3 + x}$
, при n = -4.​

Answer 1

$y = \frac{2 - x}{3 + x} , \: x_{0} = - 4$

Уравнение касательной:

$y_{k} = y'(x_{0})(x - x _{0}) + y(x_{0})$

$y(x_{0}) = y( - 4) = \frac{2 - ( - 4)}{3 + ( - 4)} = \frac{6}{ - 1} = - 6$

$y' = ( \frac{2 - x}{3 + x} )' = \frac{(2 - x)'(3 + x) - (3 + x)'(2 - x)}{(3 + x) {}^{2} } = \frac{ - (3 + x) - (2 - x)}{(3 + x) {}^{2} } = \frac{ - 3 - x - 2 + x}{(3 + x) {}^{2} } = \frac{ - 5}{(x + 3) {}^{2} }$

$y'(x_{0}) =y'( - 4 )= \frac{ - 5}{( - 4 + 3) {}^{2} } = - 5$

$y_{k} = - 5(x - ( - 4)) + ( - 6) = - 5(x + 4) - 6 = - 5x - 20 - 6 = - 5x - 26$

Уравнение нормали:

$y_{n} = - \frac{1}{y'(x_{0})} (x - x_{0}) + y(x_{0})$

$y_{n} = - \frac{1}{ - 5} (x - ( - 4)) + ( - 6) = \frac{1}{5} (x + 4) - 6 = \frac{1}{5} x + \frac{4}{5} - 6 = \frac{1}{5} x - \frac{26}{5} = 0.2x - 5.2$