Question

Построить трапецию и решить задачу

Answer 1

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны => ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.

Проведем перпендикуляры из вершин B и C к стороне AD в точки K и L соответственно.

Получился прямоугольник KBCL (BC || AD, по свойству трапеции, BK ⊥ AD и CL ⊥ AD, BK || CL, все углы прямые). В прямоугольнике противоположные стороны равны, BC = KL = 12см.

AD = AK + KL + LD.

Рассмотрим треугольник ABK, лн прямоугольный, ∠AKB = 90°, ∠BAK = 30°, AB = 5см (гипотенуза, лежит против угла 90°).

По свойству прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. =>

BK = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2} \times 5$см = $\frac{5}{2}$см.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. =>

${AB}^{2} = {BK}^{2} + {AK}^{2}$

${AK}^{2} = {AB}^{2} - {BK}^{2} = {5}^{2} - {(\frac{5}{2}) }^{2} = 25 - \frac{25}{4} = \frac{75}{4}$,

AK = $\sqrt{ \frac{75}{4} } = \frac{ \sqrt{75} }{ \sqrt{4} } = \frac{ \sqrt{25 \times 3} }{2} = \frac{5 \sqrt{3} }{2}$ см.

Треугольники ABK и LCD равны.

По трём углам:

∠BAK = ∠LDC = 30°,

∠AKB = ∠CLD = 90°,

∠ABK = ∠LCD = 180° – 30° – 90° = 60°.

Или по двум сторонам и углу между ними:

AB = CD = 5см,

BK = CL — противоположные стороны прямоугольника,

∠ABK = ∠LCD = 60°.

Также по стороне и прилегающим к ней двум углам.

По всем трём признакам равенства треугольников, треугольники равны (можно выбрать один из признаков).

=> AK = LD = $\frac{5 \sqrt{3} }{2}$ см.

AD = AK + KL + LD = $\frac{5 \sqrt{3} }{2} + 12 + \frac{5 \sqrt{3} }{2} = (5 \sqrt{3} + 12)$ см.

Ответ: $(5 \sqrt{3} + 12)$ см