Question

Решите уравнение:
$log_9sin2x=log_3\sqrt{sinx}$

Answer 1

$\log_9\sin2x=\log_3\sqrt{\sin x}$

Отметим ОДЗ: подлогарифмические выражения должны быть положительными. В этом случае еще одно условие - неотрицательное подкоренное выражение - выполнится автоматически. Получим:

$\begin{cases} \sin2x>0\\ \sqrt{\sin x}>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin2x>0\\ \sin x>0 \end{cases}$

Можно ограничиться данными условиями на синусы и впоследствии проверить найденные решения по ним.

Для дополнительного контроля можно найти ОДЗ в явном виде:

$\begin{cases} 2x\in(2\pi k;\ \pi+2\pi k),\ k\in\mathbb{Z} \\ x\in(2\pi m;\ \pi+2\pi m),\ m\in\mathbb{Z} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\in\left(\pi k ;\ \dfrac{\pi}{2} +\pi k\right),\ k\in\mathbb{Z} \\ x\in(2\pi m;\ \pi+2\pi m),\ m\in\mathbb{Z} \end{cases} \Rightarrow$

$\Rightarrow x\in\left(\pi n ;\ \dfrac{\pi}{2} +2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}$

Решаем уравнение:

$\log_9\sin2x=\log_3\sqrt{\sin x}$

Воспользуемся свойствами логарифмов:

$\log_{3^2}\sin2x=\log_3(\sin x)^{\frac{1}{2} }$

$\dfrac{1}{2}\log_3\sin2x=\dfrac{1}{2}\log_3\sin x$

$\log_3\sin2x=\log_3\sin x$

$\sin2x=\sin x$

$\sin2x-\sin x=0$

$2\sin x\cos x-\sin x=0$

$\sin x(2\cos x-1)=0$

$\left[\begin{array}{l} \sin x=0\\ 2\cos x-1=0\end{array}$

На этом шаге заметим, что первое уравнение совокупности $\sin x=0$ не удовлетворяет условию $\sin x>0$, поэтому далее это уравнение не рассматриваем.

$2\cos x-1=0$

$\cos x=\dfrac{1}{2}$

$x=\pm\arccos\dfrac{1}{2} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{3} +2\pi n \\ x=-\dfrac{\pi}{3} +2\pi n\end{array}$

Заметим, что точки, соответствующие серии $x=-\dfrac{\pi}{3} +2\pi n$ лежат в четвертой четверти, где не выполняется условие $\sin x>0$.

Остается серия решений:

$x=\dfrac{\pi}{3} +2\pi n$

Точки, соответствующие этой серии лежат в первой четверти, следовательно, условие $\sin x>0$ выполняется.

Для этой же серии имеем:

$2x=\dfrac{2\pi}{3} +4\pi n$

Эти точки лежат во второй четверти, следовательно, условие $\sin 2x>0$ также выполняется.

Ответ: $x=\dfrac{\pi}{3} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$