Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Answer 1

Ответ:

$x=\sqrt{e^{y}-1}\ ,\ \ x=0\ \ ,\ \ y=ln2\\\\x=\sqrt{e^{y}-1}\geq 0\ \ \to \ \ x^2=e^{y}-1\ ,\ \ e^{y}=x^2+1\ ,\ \underline{y=ln(x^2+1)\ ,\ (x\geq 0,y\geq 0)}\\\\y(0)=ln1=0\ \ ,\ \ ln2=ln(x^2+1)\ \ ,\ \ x^2+1=2\ \ ,\ \ x^2=1\ ,\ x=\pm 1\\\\\displaystyle \int\limits^{ln2}_0\, \sqrt{e^{y}-1}\,dy=\Big[\ t^2=e^{y}-1\ ,\ e^{y}=t^2+1\ ,\ y=ln(t^2+1)\ ,\ dy=\frac{2t\, dt}{t^2+1}\ \Big]=$

$\displaystyle =\int\limits^{1}_0\frac{t\cdot 2t\, dt}{t^2+1}=2\int\limits_0^1\Big(1-\frac{1}{t^2+1}\Big)\, dt=2\Big(t-arctgt\Big)\Big|_0^1=2\Big(1-\frac{\pi }{4}\Big)=2-\frac{\pi }{2}$