Векторная алгебра. Дано: A(3,1,-1), B(2,-2,4), C(2,3,-1), D(1,1,2).
Найти: 1) высоту параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD
2) угол BCD
Ответы
Даны вершины параллелепипеда A(3,1,-1), B(2,-2,4), C(2,3,-1), D(1,1,2).
Находим векторы AB, AC, AD.
АВ = (2-3; -2-1; 4-(-1)) = (-1; -3; 5).
АС = (2-3; 3-1; -1-(-1)) = (-1; 2; 0).
AD = (1-3; 1-1; 2-(-1)) = (-2; 0; 3).
Объём параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD), равен смешанному произведению этих векторов.
-1 -3 5| -1 -3
-1 2 0| -1 2
-2 0 3| -2 0 = -6 +0 + 0 - 9 - 0 + 20 = 5 куб ед.
Теперь определяем площадь параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС.
i j k| i j
-1 -3 5| -1 -3
-1 2 0| -1 2 = 0i - 5j - 2k - 0j - 10i - 3k = -10i - 5j - 5k.
Площадь равна половине модуля найденного векторного произведения.
S = (1/2)√((-10)² + (-5)² + (-5)²) = (1/2)√(100 + 25 + 25) = (1/2)√150 = 5√6/2 кв. ед.
Высота параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD. равна
H = V/S = 5/(5√6/2) = 2/√6 = √6/3 ≈ 0,816497.