Question

Найти интеграл: $\sf\displaystyle \int\limits\dfrac{x^2-x+2\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[6]{x} }{x(1-\sqrt[3]{x}) } {} \, dx .$

Answer 1

Объяснение:

$\int\limits {\frac{x^2-x+2\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[6]{x} }{x*(1-\sqrt[3]{x} )} } \, dx.$

$\sqrt[6]{x} =u\ \ \ \ \frac{du}{dx} =(\sqrt[6]{x} )'=\frac{1}{6}*x^{\frac{1}{6}-1}=\frac{1}{6}*x^{-\frac{5}{6}}=\frac{1}{6x^{\frac{5}{6}} }\ \ \ \ dx=6*x^{\frac{5}{6} }du.\\\sqrt[3]{x} =(\sqrt[6]{x} )^2=u^2\\\sqrt[3]{x^2}=(u^2)^2=u^4\\x=( \sqrt[6]{x} )^6=u^6\\\frac{1}{\sqrt[6]{x} }=\frac{1}{u}\\x^2=(u^6)^2=u^{12 }\\x^{\frac{5}{6} }=u^5.\ \ \ \ \Rightarrow$

$6*\int\limits {\frac{(u^{12}-u^6+2u^4-u)*u^5}{u^6*(1-u^2)} \, du=6*\int\limits {\frac{u*(u^{11}-u^5+2u^3-1)}{u*(1-u^2)} \, du=-6*\int\limits {\frac{u^{11}-u^5+2u^3-1}{u^2-1} \, du.$

Разделим в столбик (u¹¹-u⁵+2u³-1) на (u²-1):

u¹¹-u⁵+2u³-1  |_u²-1_

u¹¹-u⁹           | u⁹+u⁷+u⁵+2u

--------

   u⁹-u⁵

   u⁹-u⁷

  -------

        u⁷-u⁵

        u⁷-u⁵

        --------

                  2u³-1.           ⇒

                  2u³-2u

                  ----------

                          2u-1.

$\int\limits {(u^9+u^7+u^5+2u+\frac{2u-1}{u^2-1} )} \, du =\int\limits {u^9} \, du+\int\limits {u^7} \, du+\int\limits {u^5}du+\int\limits^a_b {2udu+\int\limits^a_b {\frac{2u-1}{u^2-1} } \, du } .$

$\int\limits {\frac{2u-1}{u^2-1} } \, du =\int\limits {\frac{2u}{u^2-1} } \, du-\int\limits\frac{1}{u^2-1} \, dx =2*\int\limits {\frac{u}{u^2-1} } \, du-\int\limits\frac{1}{u^2-1} \, du .\\\int\limits {\frac{u}{u^2-1} } \, du.\\v=u^2-1\ \ \ \ \ \frac{dv}{du} =2u\ \ \ \ \ du=\frac{dv}{2u} \ \ \ \ \Rightarrow\\\int\limits {\frac{u}{v} }*\frac{dv}{2u}=\frac{1}{2}* \int\limits } \frac{dv}{v}=\frac{1}{2}*lnv=\frac{ln|u^2-1|}{2}.$

 $\int\limits {\frac{1}{u^2-1} } \, du=\int\limits {\frac{1}{(u-1)*(u+1)} } \, du=\int\limits{\frac{2*1}{ 2*(u-1)*(u+1)} } \, du=\int\limits {\frac{u+1-(u-1)}{2*(u-1)*(u+1)} } \, du=\\=\frac{1}{2}*\int\limits {\frac{1}{u-1} } \, du-\frac{1}{2}*\int\limits {\frac{1}{u+1} } \, du\\\int\limits {\frac{du}{u-1} } .\\v=u-1\ \ \ \ \frac{dv}{du}=1\ \ \ \ dv=du.\ \ \ \ \Rightarrow\\ \int\limits {\frac{dv}{v} } =lnv=ln|u-1|.\\\int\limits {\frac{du}{u+1} } =ln|u+1|.$

$\int\limits {u^9} \, du=\frac{u^{10}}{10} \\\int\limits {u^7} \, du =\frac{u^8}{8}\\\int\limits{u^5} \, du=\frac{u^6}{6} \\\int\limits(2u) \, du=2*\int\limits {u} \, du=2*\frac{u^2}{2}=u^2.\ \ \ \ \Rightarrow$

 $\frac{u^{10}}{10} +\frac{u^8}{8}+\frac{u^6}{6} +u^2+2*\frac{ln|u^2-1|}{2}+\frac{ln(u+1)}{2}-\frac{ln|u-1|}{2}=\\ \frac{u^{10}}{10} +\frac{u^8}{8}+\frac{u^6}{6} +u^2+ln|u^2-1|+\frac{ln(u+1)}{2}-\frac{ln|u-1|}{2}=$

$=\frac{(\sqrt[6]{x})^{10} }{10} +\frac{(\sqrt[6]{x})^{8} }{8}+\frac{(\sqrt[6]{x})^{6} }{6}+\sqrt[3]{x} +ln|\sqrt[3]{x}-1|+\frac{ln(\sqrt[6]{x}+1) }{2} -\frac{ln|\sqrt[6]{x}-1|}{2} =\\=\frac{x^{\frac{5}{3}} }{10}+\frac{x^{\frac{4}{3}} }{8} +\frac{x}{6} + \sqrt[3]{x} +ln|\sqrt[3]{x}-1|+\frac{ln(\sqrt[6]{x}+1) }{2} -\frac{ln|\sqrt[6]{x}-1| }{2} .$

$-6*(\frac{x^{\frac{5}{3}} }{10}+\frac{x^{\frac{4}{3}} }{8} +\frac{x}{6} + \sqrt[3]{x} +ln|\sqrt[3]{x}-1|+\frac{ln(\sqrt[6]{x}+1) }{2} -\frac{ln|\sqrt[6]{x}-1|}{2})=\\-(\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}+x+6*\sqrt[3]{x} +6*ln|\sqrt[3]{x}-1|+3*ln(\sqrt[6]x+1)-3*ln|\sqrt[6]{x}-1|=\\=-\frac{12x^{\frac{5}{3}}+15x^{\frac{4}{3}}+20x+120\sqrt[3]{x}+120ln|\sqrt[3]{x}-1| +60ln(\sqrt[6]{x}+1)-60ln|\sqrt[6]{x}-1| }{20} .$