Question

Добрый вечер. Помогите, пожалуйста, выполнить задание (Даю 10 баллов)

Answer 1

Пусть произвольное $\epsilon>0$ задано. Домножая и деля на сопряженное выражение, получаем

$|\sqrt{n^2+n-1}-\sqrt{n^2-n+1}-1|=\left|\frac{2n-2}{\sqrt{n^2+n-1}+\sqrt{n^2-n+1}}-1\right|=$

$=\left|\frac{2-\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}+\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}}-1\right|=||\frac{1}{n}=t\in (0;1]||=\left|\frac{2-2t-\sqrt{1+t-t^2}-\sqrt{1-t+t^2}}{\sqrt{1+t-t^2}+\sqrt{1-t+t^2}}\right|\le$

$\le \frac{2}{3}\left(|2t|+|1-\sqrt{1+t-t^2}|+|1-\sqrt{1-t+t^2}|\right)$

(мы воспользовались тем, что $\sqrt{1+t-t^2}\ge 2; \sqrt{1-t+t^2}=\sqrt{(t-1/2)^2+3/4}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{1}{2},$ поэтому знаменатель дроби больше 3/2, а также известным неравенством треугольника $|a+b|\le |a|+|b|).$ Рассмотрим отдельно второй и третий модули.

$|1-\sqrt{1+t-t^2}|=\left|\frac{t^2-t}{1+\sqrt{1+t-t^2}}\right|<\frac{t}{2};$

$|1-\sqrt{1-t+t^2}|=\left|\frac{t-t^2}{1+\sqrt{1-t+t^2}}\right|<\frac{2t}{3}.$

Поэтому вся сумма меньше, чем$\frac{2}{3}(2+\frac{1}{2}+\frac{2}{3})t=\frac{38}{6}t<\frac{42}{6}t=7t$ (последнее неравенство в принципе лишнее, но ведь от нас не требуют делать оценку как можно точнее). Далее,

$7t=\frac{7}{n}<\epsilon\Leftrightarrow n>\frac{7}{\epsilon}.$ Поэтому в качестве N можно взять целую часть полученного числа: $N=\left[\dfrac{7}{\epsilon}\right]$  , а если мы совсем зануды и не хотим получить  N=0 при $\epsilon>7,$ то можем к ответу добавить еще единичку:

$N=\left[\dfrac{7}{\epsilon}\right]+1.$

Замечание. Если я где-то ошибся в расчетах, сообщите мне, чтобы я имел возможность исправить ошибки.